جناح الأشكال

الهندسةُ في وقتنا الحاضر هي فرعُ الرياضيات الذي يتعاملُ مع التركيبِ الصلب للأشكالِ مسافةً وزاويةً وأنحناءً. أختها التوأم، الطوبولوجيا (دراسة الخصائص الهندسية) تتعاملُ مع خصائص الأشكالِ الثابتة تحت تأثير الإِمْتِداد والإنحْناء، كما لو أنَّ الشكل صُنِعَ من المطاطِ. إنّ الدائرةَ والشكل البيضوي مختلفان هندسياً، لكن متماثلان طوبولوجياً. كلاهما، إضافةً إلى القطع المكافىءِ والقطع الزائدِ، أقواسٌ نتجت عند تقاطعُ مستوى مع مخروطٍ دائريٍ قائم بزوايا مختلفةِ. في حديقةِ الأشكالِ هناك تركيب وترتيب، ووظيفة الهندسة هي الكْشفُ عنها.

للهندسة تطبيقاتٌ في كل مكان: ففهم أقصر مسارٍ بين النقاطِ على سطح، حاسمٌ في تخطيط مسار الطيران. والسطوح ذات المساحة الدنيا والمحاطة بمنحنى معين هامٌ لفَهْم ظواهرَ عدة، لَيسَ فقط فقاعات الصابون. وفَهْم حركاتِ ذراعٍ آليةٍ بسيطة مسألةٌ هندسيةٌ أخرى ذات نتائجَ ومدلولاتٍ هندسية. وعندما تهم بالخروج من قسم الاشكال تجد نفسك مربوطا بأحد عقد الطبولوجي المفرغة فعندها اما ان تفك نفسك او لن ترى ما ابدع فيثاغورس بمثلثه قائم الزاوية.

1) نظرية فيثاغورس (توضيح أم برهانِ).

مجموع مساحتي المربعين المقامين على ضلعي القائمة في مثلث قائم الزاوية يساوي مساحة المربع المقام على الوتر.

نظرية فيثاغورس هي أول حقيقة غير بديهية تصادفنا في الهندسة. القرص الدائري يوضح النظرية لكنه لا يُبرهنها، وبالتحديد للأبعادِ التي إختيرتْ في هذا النموذجِ. فلماذا تنطبق على أبعاد أخرى؟ من ناحية أخرى، فإنّ الأحجية تعتبر أساساً لبرهان رياضيّ. ويُمْكِنُ أَنْ نُبَيِّنَ بالمنطق أنها سَتَنْطَبِقُ دائماً.

 

دَعِ العَجَلَة تَدور | النسبة التقريبية (π) والدائرة

نسبة محيط الدائرة إلى قطرها هي مقدارٌ ثابت يُسَمّى النسبة التقريبية (π) وقيمته …3.141592.

3) رَبِّع الدائرة (مساحة الدائرة)

بما أنّ عرضِ المستطيل مساوٍ لنصف قطر الدائرة وطوله مساوٍ لنِصْف محيطها وأنّ مساحتيهما متساويتان، فإنّ هذا يوضح نظريةَ أنّ مساحةَ الدائرة هي

½ x (نصف القطر) x (المحيط).

 

4) منحنيات جميلة (القطوع المخروطية)

الدائرة: مجموعة النقاطِ في مستوى والمتساويةِ في البعد عن نقطة مُعينة (المركز).
الشكل البيضوي: مجموعة النقاط التي يكون مجموع بعدها عنْ نقطتين معينتين (البؤرتين) مقداراً ثابتاً.

 

5) كَيفَ تَصِل مِنْ هنا إلى هناك (الجيوديسيا)

يَتَّخِذُ الخيط المطاطي المسار الأقصر على سطح الكرة الأرضية بين نهايتيه. هذا هو المسار (جيوديسي) الذي تتخذه الطائرات. إذا رَسَمْتَ هذا المسار على خارط عادية، فسوف يَبْدو مُقَوَّساً نحو الأقطاب، لأن الخرائط المستوية تُشَوِّه المسافات.

6) فقاعات الصابون اللامعة

تستطيع الفقاعات حَلَّ مسائِلَ رياضيةٍ صعبة من خلال النماذجِ “ثنائيةَ الأبعادِ”، المسارات الدُّنيا تتلاقى جدرانها بزوايا 120°، المسائل ثلاثية الأبعاد تحتاج إلى تَعَمُّقٍ أكبر في الرياضيات.وكما ان هناك تطبيقاتٌ كثيرة لهذا الموضوع؛ مِنْ تصميمِ الشبكات إلى فَهْم أغشيةِ الكائنات الحيَّة.

 

7) مفاجأة هندسية (فتحة القطع الزائد)

كُلّ نقطة على القضيب ترسم دائرة أفقية في الفراغ. الدوائر التي يرسمها الجزء الأوسّط من القضيب أصغر مِنْ تلك التي ترسمها الأجزاء الخارجية للقضيب. هذه الدوائر تُشَكِّل معاً “إسطوانةً” عمودية ضيّقة الخصر.

8) مكعب سوما

مكعب سوما عبارة عن أحجية تشريحية صلبة اخترعها العالم الدنماركي متعدد العلوم بيت هاين عام 1933 خلال محاضرة عن ميكانيكا الكم ألقاها فيرنر هايزنبرغ. ويتكون اللغز من سبع قطع بشكل متعدد مكعبات يطلب تجميعهم للحصول على مكعب طول كل ضلع من أضلاعه يساوي ثلاث مكعبات صغيرة، كما من الممكن استخدام القطع لتشكيل أشكال أخرى ثلاثية الأبعاد.

9) الأذرع الآلية (درجات الحرية)

عِلْم الإنسان الآلي تقنية هامة ومتنامية. والوصول إلى المرونة هو تَحَدٍّ رياضي بقدر ما هو تِقَنِيّ. هذا يدفعنا للإعجاب بمدى نجاح أجسامَنا أمام هذا التحدي! إنّ وَصفَ حالة إنسانٍ آلي تَعتمدُ على مفهومي “فضاء الحالة- configuration space” و “درجات الحرية- degrees of freedom”. كما ان فضاء الحالة هو أداة رياضية خُلِقَتْ لتمكيننا من وَصْفِ جميع حالات النظام المحتملة رياضياً. وان عدد درجاتِ الحريةِ لِنظام هو أصغرُ عددٍ من المتغبّرات اللازمة لوَصْف النظام بشكلٍ كامل. فمثلاً، للإبرة على الأرض ثلاثة درجات حريةِ: إثنتان لوَصْف موقع رأسها وواحدة للزاوية بين الإبرةِ وخَط مرجعي معين.

9) العُقدة الشَـقِيَّة (العُقَد)

يُعطي علماء الرياضيات صيغةً جبريةً فريدةً لكُلّ عقدة. فيكون للعقد المتكافئة نفس الصيغة ” توقيع “. يَتمنّى علماءُ الرياضيات أنّ تمتلك العقد غير المتكافئة ” تواقيعَ ” مختلفة، بحيث تُصَنِّفُ الصيغ الجبرية كُلّ العقد. كما تُصنّفُ الشرطة المشتبه بهمَ ببصماتِ أصابعهم.

10) الاشكال المستحيلة

هي نوع من أنواع الخداع البصري، تتألف من أشكال ثنائية الأبعاد يتم تفسيرها بصريا على الفور كأنها تمثل إسقاط لأشكال ثلاثية الأبعاد على الرغم من أنه ليس من الممكن هندسيا وجود مثل هذه الإشكال. ويهتم بدراسة هذه الأشكال المستحيلة علماء النفس وعلماء الرياضيات والفنانين من دون تصنيفها في أي مجال محدد

Al-Quds University